Una demostración realizada por Euclides

Una demostración realizada por Euclides
En el primer libro, la primera proposición dice lo siguiente:
Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre una recta
finita dada.
Sea AB la recta Þnita dada. Así pues, hay que construir sobre la recta dada un
triángulo equilátero. Descríbase con el centro A y la distancia AB el círculo B¡¢
[Post. 3], y con el centro B y la distancia BA descríbase a su vez el círculo A¡E
[Post. 3], y a partir del punto donde los círculos se cortan entre sí, trácense las
rectas ¡A, ¡B hasta los puntos A, B [Post. 1]. Y puesto que el punto A es el
centro del círculo ¡B, A¡ es igual a AB [Def. 15]; puesto que B es a su vez el
centro del círculo ¡AE, B¡ es igual a BA [Def. 15]; pero se ha demostrado que
¡A es igual a AB; por tanto, cada una de las (rectas) ¡A, ¡B es igual a AB. Ahora
las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí [N.C. 1]; por tanto, ¡A,
AB, ¡B son iguales entre sí.
Por consiguiente, el triángulo A¡B es equilátero y ha sido construido
sobre una recta finita dada AB. Que es lo que había que
hacer.
Si analizamos con detalle esta demostración podemos decir:
1) Esmuyelegante, se la suele presentar como el paradigma de la demostración
euclidea.
2) Es de una claridad meridiana, y discurre por los pasos canónicos que Proclo
identiÞca como: proposición, exposición, especiÞcación, preparación, y
demostración.
3) Sin embargo, Euclides, comete un grave error cuando da por supuesto que
dos círculos se cortan en un punto ( …y a partir del punto ¡ donde los
círculos se cortan entre sí). Es claramente verdad, pero en el tratado no
aparece este asunto y por tanto habría que deÞnirlo.
Es de señalar que las proposiciones 47 y 48 del primer libro versan sobre el
Teorema de Pitágoras.