Los precursores de la geometría no euclideana
En las investigaciones realizadas respecto al V postulado, también se siguió
un camino que consistía en establecer una propiedad equivalente al quinto postulado
y tratar de demostrar dicha propiedad partiendo únicamente de los cuatro primeros
postulados.
Por ejemplo, el matemático francésA. M. Legendre demostró que la propiedad:
ÒLa suma de los ángulos de un triángulo siempre vale dos rectosÓ.
era equivalente al V postulado.
Basándose en este resultado el matemático alemán B. F. Thibaut (utilizando los
cuatro primeros postulados de Euclides y las proposiciones derivados exclusivamente
de estos cuatro postulados), trató de demostrar la propiedad de Legendre, con
lo cual él concluía que el V postulado se podía deducir de los otros cuatro. Su
razonamiento se basaba en la siguiente Þgura:
La Þgura se construye siguiendo los siguientes pasos:
1) se dibuja el triángulo ABC.
2) Con centro el punto A se gira el triángulo ABC un ángulo igual a CAC0.
3) Con centro el punto B, al nuevo triángulo se le gira un ángulo ABA00.
4) Con centro el punto C, al nuevo triángulo se le gira un ángulo BCA000.
Como resultado de los giros realizados el triángulo ABC ha girado exactamente
una vuelta completa (4 rectos). Lo que quiere decir que la suma de los tres ángulos
CAC0, ABA00 y BCA000 es igual a 4 rectos.
CAC0 + ABA00 + BCA000 = 4 rectos:
Aplicando la proposición 13 de Euclides. Podemos poner que:
2 rectos ¡ CAB + 2 rectos ¡ CBA + 2 rectos ¡ BCA = 4 rectos;
y por tanto
ABC + BAC + ACB = 2 rectos:
Esta igualdad nos indica que la suma de los tres ángulos interiores es igual a 2
rectos. Parece que todo está bien, Àdónde está el error?
El asunto es ciertamente algo sutil. El punto débil de los anteriores razonamientos
se encuentra en el hecho de que el triángulo no sólo ha girado una vuelta completa
sino que también se ha trasladado una distancia igual a la suma de los tres lados del
triángulo. Se ha realizado, por tanto, unmovimiento del triángulo que se compone de
un giro y una traslación (pero hay un resultado relativo a los movimientos en el plano
que dice: \todo movimiento del plano se puede descomponer en un
giro y en una traslación que no depende del giro”). Como resulta que la
última aseveración es también equivalente alVpostulado, no podemos utilizarla para
demostrar dicho postulado, y estamos nuevamente cayendo en la famosa Òpetición
de principioÓ.
La historia de las paralelas y su desarrollo histórico es largo de contar. En su
solución estuvieron implicados muchos personajes.
Intentos por demostrar el V postulado (precursores):
Mat. çrabes: Tabit ibn Qurra (836-901), Omar Jayyam (1045-1130),
Nasir al Din al Tusi (1201-1274)
Mat. Occidentales: John Wallis (1616-1703), Giordano Vitali (1633-
1711), John Playfair (1748-1819), Gerolamo Saccheri (1667-1733),
Johann Lambert (1728-1777), A. Marie Legendre (1752-1833)
El intento de demostración de Saccheri, uno de los más interesantes, fue el que
marcó un punto de inßexión en la manera de abordar el problema de las paralelas.
El camino seguido hasta entonces era el de tratar de demostrar de manera directa
el quinto postulado mediante los otros cuatro. Con Saccheri el asunto toma otro
rumbo. Su forma de razonar fue la siguiente: se propuso demostrar que el quinto
postulado era verdadero. Para demostrar esto, negó el quinto postulado y trató
de encontrar alguna contradicción al admitir esta suposición. Básicamente seguía
un tipo de razonamiento lógico (no en vano él daba clase del lógica) que consistía
en en suponer que si admitía el NO quinto postulado, y de aquí deducía una
proposición Py también proposición NO P, entonces no era posible mantener
la suposición del No quinto postulado, por lo que el quinto postulado debería de
ser cierto. Esta manera de razonar era nueva en la historia de las paralelas. Sus
argumentaciones se basan en su famoso cuadrilátero birrectángulo.
Saccheri, Giovanni Girolamo (1667-1733) Nació y murió en San Remo,
Génova (ahora Italia). Se unió a la Orden de los Jesuitas en 1685. Cinco años
después marchó a Milán, donde estudió Þlosofía y teología en el Colegio Jesuita.
Allí, Tommaso Ceva (hermano de Giovanni Ceva, que descubrió el famoso Teorema
de Ceva) le animó a estudiar matemáticas. Inicialmente estudió lógica y
muy particularmente la utilizada por Euclides en su famoso tratado. En 1694 fue
ordenado sacerdote y se dedicó a enseñar en colegios jesuitas. Fue catedrático de
matemáticas en Pavia desde 1699 hasta su muerte. Escribió dos libros: \Euclides
ab omni naevo vindicatus” (Euclides liberado de toda imperfección), en 1733,
y \Lógica demonstrativa” en el año 1701.
El cuadrilátero birrectángulo se construye siguiendo el patrón:
1) Trazar el segmento AB.
2) Levantar perpendiculares al segmento AB, en los puntos A y B.
3) Dibujar los segmentos AD y BC de la misma longitud.
En estas condiciones Saccheri demuestra que \Los ángulos interiores que
se forman en los vértices D y C son iguales” y supone tres hipótesis:
I) ángulo C = ángulo D = 90o
II) ángulo C = ángulo D > 90o
III) ángulo C = ángulo D < 90o
Saccheri da nombre a las tres hipótesis, así la primera la llama la hipótesis
del ángulo recto, la segunda la del ángulo obtuso, y la tercera la del ángulo
agudo. Su objetivo es demostrar que que la única hipótesis razonable
y lógica es la correspondiente al ángulo recto.
La hipótesis del ángulo obtuso es rápidamente descartada. Saccheri empieza una
larga batalla por descartar la hipótesis del ángulo agudo, que como él mismo dice
Òes la única que se opone a la verdad del axiomaÓ. Después de encontrar nuevas
proposiciones, a partir de esta hipótesis, encuentra un resultado que le hace decir:
ÒAl fín he descubierto en la hipótesis del ángulo agudo una falsedad maniÞesta,
ya que conduce necesariamente a reconocer la existencia de dos rectas que, en el
mismo punto y en el mismo plano, tienen una perpendicular comúnÓ.
En realidad no encuentra ningún resultado contradictorio desde el punto de vista
lógico, sino que vuelve la vista a su concepción del mundo y concluye:
\La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque
repugna a la naturaleza de la línea recta”.
La obra de Saccheri es fundamental, ya que representa la máxima tentativa -en
esa época- por solucionar el problema de las paralelas. Además, construye una
nueva teoría sin contradicciones lógicas partiendo de la hipótesis del ángulo agudo.
Su obra fue difundida por dos historiadores de la matemática J. C. Heibroner
(1742) y Montucla (1758), y posteriormente se analizó en detalle por G. S. Klugel
(1763) y cayó en el olvido hasta que el matemático italiano E. Beltrami (1889) volvió
a desempolvarla.
Lambert Johann Heinrich (1728-1777)
Matemático alemán nacido en Mulhouse y fallecido
en Berlín. Era un pensador polifacético, uno de los
primeros en pensar que nuestra galaxia era unamás
dentro de la amplitud del universo. Fue miembro
de la Academia de Berlín. En matemáticas Lambert
probó que el número pi era una cantidad irracional
(1766) e introdujo las funciones hiperbólicas
en trigonometría. En 1760 publicó unas investigaciones
que tenía hechas sobre la reßexión de la luz
y fue el primero en idear métodos para medir la intensidad
de la luz con cierta exactitud y la unidad
de brillo se llama lambert en su honor. Amigo del
Þlósofo alemán I. Kant, con él buscó el volver a
introducir el a priori en la ciencia. Sus trabajos
en el campo de las paralelas fueron reunidas en un
trabajo que publicaría Johan Bernoulli III (1786),
sus investigaciones en este campo siguieron inicialmente
los razonamientos de G. Sacchieri.
La obra de Lambert discurre por un camino paralelo a la de Saccheri, sus razonamientos
se basan en su famoso cuadrilátero trirrectángulo. Para construir el
trirrectángulo, Lambert procede de la siguiente manera.
1) Trazar el segmento AB.
2) Dibujar el segmento AD perpendicular al segmento AB en el vértice A.
3) En el vértice B levantar una perpendicular al segmento AB.
4) En el vértice D trazar una perpendicular al segmento AD, y prolongarla hasta
encontrar el vértice C.
De acuerdo a la construcción realizada se forma un cuadrilátero que tiene tres
ángulos interiores rectos (los correspondientes a los ángulos interiores A, B y D),
mientras que el cuarto vértice puede ser una de las tres posibilidades: I) ángulo
C = 90o; II) ángulo C > 90o; III) ángulo C < 90o.
La primera de ellas es la correspondiente a la hipótesis del ángulo recto, la
segunda la hipótesis del ángulo obtuso, y la tercera la hipótesis del ángulo agudo.
El método ideado por Lambert, como vemos, se acerca al trabajo de Saccheri.
Para rechazar la hipótesis del ángulo obtuso, Lambert recurre a la siguiente
Þgura: traza dos rectas perpendiculares a una tercera recta AB, luego desde los
puntos señalados B;B1;B2; : : : ;Bn baja perpendiculares, hasta encontrar a la otra
recta en los puntos homólogos A;A1;A2; : : : ; An.
En la hipótesis del ángulo obtuso, Lambert demuestra que los segmentos AB,
A1B1,…, AnBn van decreciendo progresivamente, de modo que se puede demostrar
Sin embargo, para un número natural n suÞcentemnte grande, podemos hacer el
segundo miembro de la desigualdad anterior tan grande como queramos (postulado
de Arquímedes), mientras que el primer miembro no puede ser mayor que el
segmento AB. Esta contradicción permite a Lambert declarar falsa la hipótesis del
ángulo obtuso.
La hipótesis del ángulo agudo la trata en bastante profundidad: observa que
todo segmento se le puede poner en correspondencia con un ángulo, lo que daría
categoría de absoluto a la longitud de segmentos.
Esta medida absoluta de la longitud -dice Lambert- repugna a
nuestra intuición euclideana. Sin embargo actuó con cautela y no fue capaz
de rechazar la hipótesis del ángulo agudo desde el punto de vista lógico. Sus
investigaciones fueron publicadas por Johann Bernoulli III, en 1786 bajo el título de
la Teoría de las paralelas.
Tres personajes claves en la historia de las paralelas fueron: Legendre, Schweikart
y Taurinus. La longitud de este texto no me permite explicar las aportaciones de
cada uno de ellos, únicamente decir que el terreno ya estaba suÞcientemente abonado
para que los matemáticos Gauss, Bolyai y Lobachevski fuesen capaces de resolver
el problema.
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