“Fallas” en los Elementos

“Fallas” en los Elementos
En honor a la verdad se puede decir que el tratado escrito por Euclides es \casi
perfecto”, pero mirado con la lupa del rigor se pueden encontrar varias \fallas”
que hacen tambalear ese majestuoso tratado, así:
A) Muchos de los términos que figuran en las definiciones no están a
su vez definidos, tal es el caso de “frontera”, “ancho”, “longitud”, “inclinación”, etc.
B) Varias de las 23 definiciones que aparecen en el primer libro (pasa lo
mismo con los otros 12 libros) no son utilizadas en las demostraciones,
por tanto se podrían reducir el conjunto de definiciones sin producirse ninguna
dificultad en el planteamiento general de la obra.
C) En la mayoría de las demostraciones se utiliza la intuición geométrica reforzada
con la figura consiguiente. Por ejemplo, se supone que dos circunferencias
(no tangentes) se cortan en dos puntos; que una recta que pasa por un
punto interior al círculo y otro exterior al mismo corta a la circunferencia en
un punto que está entre los dos anteriores.
D) En la demostración de algunas proposiciones se utilizan implícitamente postulados
y axiomas que previamente no han sido definidos, se puede decir a
este respecto que la lista de los axiomas y postulados es demasiado
pobre (insuficiente).
E) Una de las “fallas” más sustanciales, y que aparece en varias demostraciones,
es el concepto de movimiento. No está definido explícitamente y sin
embargo es constantemente utilizado. De hecho en la primera proposición o
teorema del primer libro, el concepto de movimiento ya es empleado. Cabe
observar que, según el significado del axioma VII, la igualdad de magnitudes
y figuras geométricas también se define mediante movimientos.
F) Se echan de menos unas reglas de inferencia lógica. Si bien el empleo de la
lógica con sus reglas se consideraba, en tiempos de Euclides, más bien como
un producto espontáneo de la matemática y no como un requisito para ella.
G) Conviene notar que la distinción, que hace Euclides, entre nociones comunes
y postulados no es clara. Por ejemplo, la cuarta definición del quinto libro es
equivalente al llamado “Postulado de Arquímedes”.
H) Aún siendo admirable el tipo de argumentación y razonamiento empleado por
Euclides se pueden encontrar algunos errores en ciertas demostraciones.
I) Algunas definiciones no son precisas. Así, por ejemplo la definición
dada para una recta (La recta es aquella línea que se halla igualmente dispuesta
con respecto a todos sus puntos) puede servir también para definir a otras
muchas figuras: una espiral, una circunferencia, una hélice, etc. Es cierto que
en esa época no les preocupaba excesivamente el rigor en las definiciones, el
mismo Aristóteles decía al respecto: “Los verdaderos objetos matemáticos
son solamente sugeridos o iluminados mediante las figuras que se hacen”.
En resumen podemos decir que el rigor de la lógica de Euclides
se basa, en muchos casos, en intuiciones, adquiridas por el hábito
de nuestras representaciones espaciales.
Como conclusión se puede afirmar que: Los Elementos de Euclides NO resuelve
satisfactoriamente el problema de fundamentar la geometría (enumeración de un
número suficiente de definiciones, axiomas y postulados que sirvan de base para una
demostración rigurosa de todos y cada uno de los teoremas que aparecen). Algunas
de estas dificultades ya fueron observadas por científicos de la antigüedad. El genial
Arquímedes amplió la lista de los postulados geométricos, tratando de dar más
consistencia al edificio geométrico construido por Euclides; en particular completó
los aspectos relacionados con la medición de longitudes, áreas y volúmenes. Afin de
fundamentar mejor la geometría métrica, Arquímedes, introdujo cinco postulados,
el primero de ellos decía lo siguiente:
\Entre todas las líneas con extremos comunes la recta es la más corta.”
El verdaderamente importante es el quinto de sus postulados, dice:
\De dos líneas desiguales , dos superficies desiguales o dos cuerpos
desiguales, la mayor resultará ser menor que la magnitud que se
obtiene si se repite la menor un número adecuado de veces”
Esta afirmación se la conoce como el postulado de Arquímedes, y ha
resultado ser de una gran importancia. En términos más modernos se la puede
expresar como sigue:
\Para cualesquiera A y B, tal que A < B, existe un número natural
N tal que N:A > B”
Arquímedes (287-212 a.C.) Arquímedes
nació en el año 287 a.C. en Siracusa (Sicilia) que
por aquel tiempo era colonia griega. En su juventud
viajó por Egipto y fue por esa época cuando
inventó el “tornillo sin fin”, ingenio que permitía
sacar agua de los pozos y que todavía es utilizado
hoy en día.
Parece que estudió en Alejandría con algunos de
los discípulos de Euclides y fue en esta etapa de
su vida cuando profundizó en los trabajos de sus
ilustres predecesores (Eudoxo entre ellos) en Geometría.
Arquímedes fue amigo del rey Herón II de Siracusa
que ejerció como su protector. En cuanto al
legado matemático de Arquímedes sabemos que
escribió muchos pequeños tratados, de los que
bastantes de ellos han llegado hasta nosotros fundamentalmente
gracias a traducciones latinas del
siglo XIII en adelante. Sus obras más representativas
son las siguientes: \La cuadratura de la
parábola”, \El método”, \Sobre la esfera y el
cilindro” (dos libros), \Sobre espirales”, \La medida del círculo”, \El arenario”,
\Sobre conoides y esferoides”, etc.
En Arquímedes hay que destacar su claridad expositiva y la perfección y el ingenio
en sus demostraciones, así como el uso que hizo del método de exhaución
(predecesor de nuestros actuales métodos de integración) para encontrar las áreas
y los volúmenes de muchas superficies y cuerpos y para aproximar el número
pi. Actualmente se considera al genial Arquímedes como el mayor genio de
la matemática greco-alejandrina, y uno de los más grandes genios de todos los
tiempos.
Había más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de
Homero (Voltaire)
Después de Arquímedes también se continuaron los intentos por precisar los
postulados de la geometría de Euclides. Sin embargo, nadie agregó nada sustancial.
El rigor de sus demostraciones se consideraba en general suficiente. A finales del
siglo XIX se abordó el problema de fundamentar adecuadamente la geometría, labor
que concluyó satisfactoriamente el matemático alemán David Hilbert.