Estructura de “Los Elementos”
Para realizar este tratado, al comienzo de cada uno de los libros que componen
los Elementos, Euclides presenta unas definiciones y unas nociones comunes
(o axiomas) relativas a los temas desarrollados, y además en el Libro I expone sus
famosos cinco postulados en los que basa la construcción axiomática.
Las definiciones básicas que se proponen en el primero de los libros son 23,
redactadas de la manera siguiente:
1. Un punto es aquello que no tiene partes.
2. Una línea es la longitud sin anchura.
3. Las fronteras (los extremos) de una línea son puntos.
4. La recta es aquella línea que se halla igualmente dispuesta con respecto a todos
sus puntos.
5. La superÞcie es lo que posee únicamente longitud y anchura.
6. Las fronteras de una superÞcie son líneas.
…
15. Círculo es una Þgura plana limitada por una sola línea que se llama periferia,
respecto a la cual son iguales las rectas que inciden sobre ella trazadas desde
uno de los puntos situados en el interior de la Þgura.
16. Ese punto interior se llama centro del círculo.
…
23. Rectas paralelas son las que, estando en un mismo plano y
prolongadas al infinito, no se encuentran.
Unas verdades o nociones comunes consideradas como universales, y no
referentes a los objetos básicos geométricos, sino tautologías por sí mismas.
1. Dos cosas iguales separadamente a una tercera son iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales le agregamos iguales, obtenemos iguales.
3. Si de iguales quitamos iguales, obtenemos iguales.
4. Si a desiguales agregamos iguales, obtenemos desiguales.
5. Si duplicamos iguales obtenemos iguales.
6. Las mitades de iguales son iguales entre sí.
7. Las cosas que se pueden superponer son iguales.
8. El todo es mayor que una parte.
9. Dos rectas no encierran espacio.
La edición crítica de Heiberg, recoge únicamente cinco nociones comunes, que
son las resaltadas en la lista anterior.
Unas aÞrmaciones o postulados relativos a los objetos básicos. Son las verdades
iniciales del sistema. Los postulados permiten efectuar ciertas construcciones
geométricas: unir puntos mediante líneas rectas, trazar círculos, etc.
Unas proposiciones que se deducen a partir de los postulados, del razonamiento
lógico y de otras verdades anteriores. Estas proposiciones constituyen los
teoremas del sistema axiomático.
Los postulados son los siguientes:
1. Postúlese el trazar una recta desde un punto cualquiera hasta
un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir cualquier círculo con cualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos
internos del mismo menores que dos rectos, las dos rectas
prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el
que están los (ángulos) menores que dos rectos.
Leyendo con detenimiento los cinco postulados de Euclides, resulta evidente
que el enunciado del V postulado no está en la línea de los anteriores. En principio
resulta ostensiblemente más largo, en segundo lugar está redactado a manera de
una proposición. No resulta extraño pensar que ya los contemporáneos de Euclides
hicieran intentos serios y profundos para intentar demostrar dicho postulado utilizando
exclusivamente los cuatro anteriores. Desde luego, el dibujo nos ayuda a
entenderlo perfectamente.
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