El Problema de las Paralelas

El Problema de las Paralelas
El primer libro de Euclides va demostrando una tras otra diversas proposiciones.
En particular la proposición 16 del primer libro Los Elementos dice lo siguiente:
En todo triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor
que cada uno de los ángulos internos y opuestos.
Hace referencia a lo siguiente:
En el triángulo ABC, el ángulo exteriorDCA es mayor que los ángulos internos
y opuestos ABC y BAC. Basándose en ésta proposición, Euclides asienta su teoría
de las paralelas. Realiza los siguientes razonamientos: dadas dos rectas en un mismo
plano, las cortamos por una tercera, así obtenemos ocho ángulos.
En los ángulos creados puede suceder, tomados dos a dos, que:
1) Los ángulos alternos-internos son iguales, es decir,
C = F o D = E:
En ese caso las rectos son paralelas, pues si se cortasen se formaría un triángulo
en el cual uno de los ángulos exteriores sería exactamente igual a uno de los ángulos interiores no adyacente, lo que estaría en contra de la Proposición 16 (I libro), tal
como aclara el dibujo.
Figura 3
El triángulo ABC tiene un ángulo externo en A igual a el ángulo interno en el
vértice C (lo cual no es posible).
De la misma manera se podría razonar (Figura 2) basándose en las igualdades
2) B = G o A = H; 3) B = F, A = E (ángulos correspondientes iguales); 4)
E + C = 2 Rectos (sumados los ángulos externos conjugados igual a dos rectos),
D + F = 2 Rectos;…
Recogiendo todos los resultados podemos concluir que:
Si dos rectas en un mismo plano se cortan, por una tercera formando
ángulos iguales, entonces estas dos rectas son paralelas.
Euclides no enuncia este resultado sino que lo divide en dos proposiciones, las
proposiciones 27 y 28 del primer libro.
Proposición 27 Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos
alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí.
Proposición 28 Si una recta al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo
igual al interno y al opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado
iguales a dos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
Inmediatamente nos surge una cuestión:
>Será cierta la proposición inversa? >Será verdad que para que dos
rectas sean paralelas ha de suceder una de las igualdades respecto a
los ángulos que Euclides menciona en las proposiciones 27 o 28?
Es evidente que Euclides lo intent”, la ordenación del material nos da testimonio
inequívoco de este asunto. Sin embargo, no logró demostrar ese resultado, por lo
que resolvió el problema de una manera muy original:
Euclides, tom” simplemente la proposición inversa como postulado y le añadió
a los cuatro postulados que ya tenía y con los cuales ya estaba trabajando.
Para entender la redacción del quinto postulado en su totalidad hay que seguir
los siguientes pensamientos:
1) \Si la suma de los ángulos conjugados internos es igual a dos
rectos entonces la rectas (de la Figura 2) son paralelas; cuando no
ocurre esto, esto es cuando la suma de dichos ángulos conjugados
internos no equivalen a dos rectos, las rectas no son paralelas e
inevitablemente habrán de encontrarse en un punto”.
2) De la Proposición 16 (referente al ángulo exterior) también se
puede deducir que la suma de los ángulos de un triángulo jamás
puede exceder de dos rectos (que es precisamente la Proposición 17
del libro I). Como se puede ver en el siguiente razonamiento (Figura
4).
Figura 4
La suma de los ángulos internos (A y B) y sus adyacentes correspondientes (A0
y B0) ha de ser igual a cuatro rectos, A+A0+B+B0 = 4 Rectos. De la proposición
16 se deduce que A < B0 y B < A0. Por tanto haciendo unas simples cuentas
A+B < 2 Rectos. Hemos razonado con los ángulos internos A y B, con cualquier
otra pareja de ángulos el procedimiento sería el mismo.
Aunando estos dos pensamientos, Euclides enunció, como ya sabemos, su
famoso quinto postulado de la siguiente manera:
Postulado 5 “Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos
internos del mismo menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente
se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos
rectosó
Basándose en este postulado y las proposiciones anteriormente demostradas,
Euclides va construyendo todo un hábeas de las paralelas, el punto culminante se
encuentra en la proposición 31 del primer libro que hace referencia a la construcción
de una recta paralela a otra recta dada y que pase por un punto exterior a ésta. Dice
lo siguiente:
Proposición 31: “Por un punto dado se puede trazar una recta paralela a
una recta dada.”
La manera de razonar y el procedimiento seguido en esta proposición nos lleva
a concluir no sólo que existe esa paralela sino que además es única.
Cuando el comentarista Proclo hace referencia a dicha proposición hace notar
la existencia y la unicidad de la paralela.
Desde el punto de vista hist”rico este aspecto ha sido muy importante, ya que el
negar bien la existencia o bien la unicidad de las paralelas nos abre las puertas a un
mundo fascinante: La Geometría no euclideana.
Es evidente que elVpostulado resultaba una dificultad, no resulta extraño pensar
que ya los contemporáneos de Euclides hicieran intentos serios y profundos para
intentar demostrar dicho postulado utilizando exclusivamente los cuatro anteriores.
De hecho, algún que otro matemático de la antigüedad murió convencido que había
resuelto la situación, sin embargo usaron proposiciones más o menos encubiertas y
además equivalentes al V postulado, con lo cual incurrían en una \repetición de
principio”. Naturalmente la intuición les jugaba una mala pasada.
Veamos con un ejemplo una situación muy habitual en este tipo de demostraciones.
El comentarista Proclo (siglo V) se dio cuenta que el V postulado quedaría
demostrado si previamente demostraba la siguiente proposición:
Proclo: “Dadas dos rectas paralelas l y m cualesquiera y r otra recta distinta
a l y que la corta, entonces r también corta a m”
Si Proclo conseguía demostrar tal aseveración, utilizando únicamente los postulados
I-IV de Euclides, quedaría demostrado el V postulado.
De manera muy resumida, sin entrar en detalles, el razonamiento de Proclo es
el siguiente: si l y r se cortan en A (según la hipótesis de Proclo), al prolongar
dichas rectas indefinidamente pueden llegar a tener entre sí una distancia mayor
que cualquier magnitud, de manera que será mayor que el intervalo entre las dos
paralelas. Por tanto si las rectas l y r están entre sí a una distancia mayor que la
distancia entre las rectas paralelas , ha de suceder necesariamente que la recta r corte
a la recta m.
Esta demostración es muy visual, y no cabe duda que puede resultar hasta convincente,
sin embargo si la analizamos con detalle podemos encontrar un conjunto
de aspectos oscuros, son los siguientes :
a) Habla de una distancia entre rectas paralelas.
b) Comenta que la distancia entre dos rectas no paralelas, al prolongarse indefinidamente, llegan a tener entre sí una distancia mayor que cualquier magnitud.
Sin embargo, las dos aseveraciones propuestas por Proclo no son tratadas de
manera explicita en los cuatro primeros postulados de Euclides, en consecuencia
debería demostrarlas. Proclo atribuye la afirmación (b) a Arist”teles mientras que
la afirmación (a) es equivalente al V postulado de Euclides (aspecto que Proclo
desconocía). En definitiva, Proclo ha incurrido en argumentaciones falaces ya que
ha empleado para demostrar el V postulado un resultado que es equivalente al que
se quería demostrar.
Muchos otros ge”metras que vinieron después intentaron eliminar el quinto
postulado de la lista de axiomas y demostrarlo a partir de los demás. Entre los
personajes más significados se encuentran: Nasir ed Din et Tusi (siglo XIII),
Wallis (1616-1703), Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre
(1752-1883) y muchos otros. En muchos casos la demostración que se conseguía
se basaba en alguna propiedad que se consideraba evidente pero que en realidad
era equivalente al quinto postulado. Algunos de los enunciados que se han dado
equivalentes al quinto postulado son éstos:
Autor Postulado
Legendre Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos
vale dos rectos.
Legendre Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo
también corta al otro lado.
Laplace, Saccheri Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de
uno respectivamente iguales a los ángulos de otro.
Gauss Existen triángulos de área arbitrariamente grande.
Bolyai Por tres puntos no alineados pasa siempre una
circunferencia.
Wallis Existen triángulos semejantes (pero no iguales), es decir
triángulos cuyos ángulos son iguales pero de lados
desiguales.
Proclo Dos rectas paralelas entre si están a distancia finita.
Pero sin duda el más famoso de todos es:
Por un punto exterior a una recta dada sólo pasa una paralela a dicha recta (axioma
de Playfair).
Playfair, John (1748-1819) Nació en Benvie,
Escocia. Era el hijo mayor del Reverendo
James Playfair. Su padre lo educ” hasta los 14
años, posteriormente le envió a la Universidad de
St Andrews donde se gradu”. Su progreso en las
ciencias matemáticas fue muy rápido. En 1785
se le nombró Profesor Asociado de Matemáticas
en la Universidad de Edimburgo. Estandariz” la
notación de los puntos y lados de las figuras en los
primeros seis libros de su edición. Murió en 1819
en Burntisland, Escocia.